Distribuição de Bernoulli

O modelo para um único ensaio com dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso.
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Na prova · apoio É uma tentativa da binomial: a p de cada tentativa. Guia da prova

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DicaEm uma frase

Uma variável de Bernoulli vale 1 quando acontece o resultado de interesse (sucesso) e 0 caso contrário; ela tem um único parâmetro, a probabilidade de sucesso \(p\).

A ideia

Na Aula 10 começamos a usar modelos prontos, já conhecidos na literatura estatística. O mais simples é o ensaio de Bernoulli: um experimento com apenas dois resultados possíveis. Os slides trazem vários exemplos: um assinante renova ou não o Spotify; uma compra chega dentro ou fora do prazo; um carro autônomo erra ou não ao estacionar; um resistor falha ou não.

Chamamos de sucesso o resultado que queremos contar, que não precisa ser uma coisa boa: no exemplo dos resistores, o “sucesso” é o resistor falhar. Se \(X\) vale 1 no sucesso e 0 no fracasso:

\[ P(X = 1) = p, \qquad P(X = 0) = 1 - p, \qquad E(X) = p, \qquad Var(X) = p\,(1 - p). \]

As duas fórmulas saem direto da definição de esperança e variância: \(E(X) = 0 \times (1-p) + 1 \times p = p\) e \(E(X^2) = p\), logo \(Var(X) = p - p^2\).

Para o resistor com \(p = 0{,}2\): \(E(X) = 0{,}2\) e \(Var(X) = 0{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}16\).

No código

A média de uma coluna 0/1 é uma proporção

Codificar sucesso como 1 e fracasso como 0 tem uma vantagem: a média da coluna é a proporção de sucessos. Na base do Titanic (Aula 4), Survived vale 1 para quem sobreviveu:

A média, 0,3838, é a mesma frequência relativa de sobreviventes. Se sorteamos um passageiro ao acaso, “sobreviveu” é uma Bernoulli com \(p \approx 0{,}3838\). Essa é a ponte entre a tabela de frequências e o modelo.

Onde a variância é maior

\(Var(X) = p(1-p)\) é zero quando \(p = 0\) ou \(p = 1\) (não há incerteza) e máxima em \(p = 0{,}5\) (a maior incerteza possível):

A binomial é uma soma de Bernoullis

Um pacote com 3 resistores são 3 ensaios de Bernoulli independentes. O número de resistores com falha é a soma dos três zeros e uns. Simulando 10 mil pacotes e comparando com o modelo binomial:

As frequências da simulação ficam muito perto de \(0{,}512\), \(0{,}384\), \(0{,}096\) e \(0{,}008\), que são as probabilidades da \(Bin(3;\ 0{,}2)\). Somar \(n\) Bernoullis independentes com o mesmo \(p\) é exatamente o que define a binomial.

Armadilhas comuns

  • Achar que “sucesso” precisa ser bom. Sucesso é o evento que você está contando: falha, defeito, cancelamento.
  • Usar Bernoulli para contar várias coisas. A Bernoulli é um ensaio. Se há \(n\) ensaios e você conta quantos sucessos, o modelo é a binomial.
  • Esquecer que \(p\) tem de ser constante. Se cada ensaio tem uma probabilidade diferente, a soma deixa de ser binomial (é o problema dos 14 itens do Detran na Aula 11).
  • Codificar com rótulos. Com 'Yes' e 'No' não dá para tirar a média; com 1 e 0, a média é a proporção.

Exercícios aqui na página

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Exercício 1

Sorteie um passageiro do Titanic e seja \(B = 1\) se for mulher e \(B = 0\) se não. Crie a coluna 0/1 e estime \(p\) como a média dela.

Somar os 1 e dividir pelo total é exatamente a média.

b = (titanic['Sex'] == 'female').astype(int)
p = b.mean()
p

Exercício 2

Calcule \(Var(B) = p(1 - p)\) e confira que dá o mesmo que b.var(ddof=0).

A fórmula da Bernoulli e a variância dos dados com ddof=0 coincidem.

var_b = p * (1 - p)
print(var_b, b.var(ddof=0))
var_b

Exercício 3

A variável “número de pais ou filhos a bordo” (Parch) é uma Bernoulli? Responda 'sim' ou 'nao'.

Veja os valores impressos: são só 0 e 1?

print(titanic['Parch'].unique())
resposta = 'nao'
resposta

Comandos e documentação oficial

stats.bernoulli

Pontes com o outro lado do mapa

Este tópico aparece nestas paradas da revisão guiada, em que cada ponte vira um exercício resolvido pelos dois caminhos:

Pratique

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