Independência e eventos disjuntos

Quando saber que B aconteceu não muda a chance de A, e por que isso é diferente de não acontecerem juntos.
Probabilidade e variáveis aleatóriasFundamentos de probabilidadeAula 2 Aula 4← voltar ao mapa
Na prova · apoio Aparece como hipótese dos modelos (clientes independentes entre si) e como verificação de P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Guia da prova

Os códigos desta página rodam no navegador, mas não sozinhos: clique em Run Code em cada bloco, de cima para baixo.

DicaEm uma frase

\(A\) e \(B\) são independentes quando saber que \(B\) aconteceu não muda a chance de \(A\); já disjuntos são eventos que não podem acontecer juntos, e isso é uma coisa bem diferente.

A ideia

Na Aula 2 (e de novo na Aula 4), a definição veio em palavras: conhecer a ocorrência de \(A\) não altera a expectativa sobre a ocorrência de \(B\). Em notação:

\[A \text{ e } B \text{ independentes} \iff P(A \mid B) = P(A) \iff P(A \cap B) = P(A)\,P(B).\]

A segunda forma vem da regra do produto: se \(P(A \mid B) = P(A)\), então \(P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B) = P(B)\,P(A)\). É ela que usamos para multiplicar probabilidades de eventos independentes, como clientes diferentes de um posto ou peças diferentes de uma linha de produção.

Disjuntos (ou mutuamente exclusivos) quer dizer \(A \cap B = \varnothing\), isto é, \(P(A \cap B) = 0\). Se dois eventos com probabilidade positiva são disjuntos, eles não são independentes: saber que \(A\) aconteceu garante que \(B\) não aconteceu, então a informação mudou tudo.

Independentes Disjuntos
Pergunta saber de B muda a chance de A? A e B podem acontecer juntos?
Regra \(P(A \cap B) = P(A)\,P(B)\) \(P(A \cap B) = 0\)
Exemplo dois clientes pagando com cartão ser homem e ser mulher
ImportanteComo enxergar independência em uma tabela cruzada

Faça pd.crosstab(..., normalize='index', margins=True). Se todas as linhas forem iguais à linha All, então \(P(\text{coluna} \mid \text{linha}) = P(\text{coluna})\) para todas as linhas: é a definição de independência. Quanto mais as linhas se afastam de All, mais forte é a associação.

Exemplo resolvido

O posto de gasolina (Aula 2, Exercício 4): 80% dos clientes pagam com cartão de crédito, e os clientes se comportam de forma independente.

Eventos. \(A\): o 1º cliente usa cartão; \(B\): o 2º cliente usa cartão.

Probabilidades dadas. \(P(A) = P(B) = 0{,}8\), e \(A\) e \(B\) independentes.

O que se pede. (a) \(P(A \cap B)\); (b) \(P(A \cup B)\), a chance de pelo menos um usar cartão.

Resolução.

  1. Pela independência, \(P(A \cap B) = P(A)\,P(B) = 0{,}8 \times 0{,}8 = 0{,}64\).

  2. “Pelo menos um” é o complementar de “nenhum”. Nenhum usa cartão é \(A^c \cap B^c\), e os complementares de eventos independentes também são independentes: \(P(A^c \cap B^c) = 0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}04\). Logo \(P(A \cup B) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96\).

Pela regra da união dá o mesmo: \(0{,}8 + 0{,}8 - 0{,}64 = 0{,}96\).

No código

Nos dados, a independência nunca aparece exata, porque cada amostra tem suas flutuações. O que olhamos é se as linhas da tabela cruzada estão perto ou longe da linha All. No Titanic, sexo e sobrevivência estão muito longe da independência:

\(P(S \mid F) = 0{,}742\) e \(P(S \mid M) = 0{,}189\), contra \(P(S) = 0{,}384\). Saber o sexo muda muito a chance de sobreviver: os eventos são dependentes, e é por isso que o sexo funciona bem no classificador da Aula 4.

Na Empresa de TV, escolaridade e plano ficam bem mais perto da linha All:

As linhas (52,0%, 50,0% e 62,2% no plano A) oscilam em torno de 56,1%. A associação é bem mais fraca do que no Titanic; se a escolaridade ajuda a recomendar um plano, ajuda pouco.

Por fim, a verificação numérica de que disjuntos não são independentes:

Armadilhas comuns

  • Multiplicar sem ter independência. \(P(A \cap B) = P(A)\,P(B)\) só vale se o enunciado disser (ou os dados indicarem) que os eventos são independentes. Em geral, use \(P(A)\,P(B \mid A)\).
  • Dizer “são disjuntos, logo independentes”. É o contrário: disjuntos com probabilidades positivas são sempre dependentes.
  • Exigir igualdade exata nos dados. Em uma amostra, 52,0% contra 56,1% pode ser só flutuação. Mais adiante no curso, os testes de hipóteses vão dizer quando uma diferença é grande demais para ser acaso.
  • Esquecer os complementares. Se \(A\) e \(B\) são independentes, também são \(A^c\) e \(B^c\). É isso que permite calcular “pelo menos um” como \(1 - P(A^c)\,P(B^c)\).

Na distribuição binomial, cada tentativa (resistor, cliente, empresa) é independente das outras. É por isso que a probabilidade de uma sequência como sucesso, fracasso, sucesso é o produto \(p\,(1-p)\,p\). Quando a independência falha (por exemplo, sortear sem reposição de um grupo pequeno), a binomial deixa de valer.

Exercícios aqui na página

Complete os ______ e clique em Run Code: a correção aparece logo abaixo. Use Show Hint para uma dica e Show Solution para ver uma resolução. O Python roda no seu navegador; na primeira vez ele leva alguns segundos para carregar.

Exercício 1

Dois servidores funcionam de forma independente. O primeiro falha num dia com probabilidade 0,1 e o segundo com probabilidade 0,2. Qual a probabilidade de pelo menos um falhar? Use o complementar: “pelo menos um falha” é o contrário de “nenhum falha”.

Por independência, \(P(A^c \cap B^c) = P(A^c)\,P(B^c)\).

p_nenhum = (1 - 0.1) * (1 - 0.2)
p_pelo_menos_um = 1 - p_nenhum
p_pelo_menos_um

Exercício 2

Nos dados: se sobreviver (\(S\)) e ser da 1ª classe fossem independentes, \(P(S \cap \text{1ª})\) seria igual a \(P(S) \cdot P(\text{1ª})\). Calcule a diferença entre os dois lados.

Uma diferença perto de zero indicaria independência.

S = titanic['Survived'] == 1
primeira = titanic['Pclass'] == 1
diferenca = (S & primeira).mean() - S.mean() * primeira.mean()
diferenca

Exercício 3

Com base na diferença do exercício anterior, sobreviver e ser da 1ª classe são 'independentes' ou 'dependentes'?

Independentes exigem \(P(S \cap \text{1ª}) = P(S)\,P(\text{1ª})\).

print(diferenca)
resposta = 'independentes' if abs(diferenca) < 0.01 else 'dependentes'
resposta

Pontes com o outro lado do mapa

Este tópico aparece nestas paradas da revisão guiada, em que cada ponte vira um exercício resolvido pelos dois caminhos:

Pratique

As listas novas de revisão abrem no Google Colab (use Arquivo → Salvar uma cópia no Drive). As listas das aulas estão no Blackboard, na pasta de cada aula.