Eventos e regras básicas

Espaço amostral, complementar, interseção, união e eventos disjuntos, com contas e com dados.
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Na prova · apoio Base de toda a probabilidade: complementar, união e interseção. Guia da prova

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DicaEm uma frase

Um evento é um conjunto de resultados possíveis de um fenômeno aleatório, e quatro regras (complementar, interseção, união e disjuntos) bastam para combinar as probabilidades de vários eventos.

A ideia

Na Aula 2, começamos pelo fenômeno aleatório: uma situação cujo resultado não dá para prever com certeza (o robô vira para a direita? o projeto termina no prazo?). O conjunto de todos os resultados possíveis é o espaço amostral \(\Omega\), e um evento é qualquer parte dele. A probabilidade mede a incerteza de cada evento:

\[0 \le P(A) \le 1 \qquad \text{e} \qquad P(\Omega) = 1.\]

As quatro regras que usamos o tempo todo:

Nome Notação Lê-se Regra
Complementar \(A^c\) “não A” \(P(A^c) = 1 - P(A)\)
Interseção \(A \cap B\) “A e B ao mesmo tempo” vem da tabela ou da regra do produto
União \(A \cup B\) “A ou B (ou os dois)” \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
Disjuntos \(A \cap B = \varnothing\) “não acontecem juntos” \(P(A \cap B) = 0\)

Por que a união subtrai a interseção? Porque, ao somar \(P(A)\) com \(P(B)\), os resultados que estão nos dois eventos entram duas vezes. Tirar \(P(A \cap B)\) uma vez corrige a dupla contagem.

ImportanteDe onde vêm as probabilidades

Na disciplina usamos o método frequentista: a probabilidade de um evento é estimada pela frequência relativa com que ele aparece nos dados. Por isso uma tabela de frequências com normalize=True já é uma tabela de probabilidades.

Exemplo resolvido

A tabela da Netflix (Aula 2) cruza o período de acesso com o gênero sugerido, para 200 usuários:

Período Romance Ação Total
Diurno 35 15 50
Noturno 45 105 150
Total 80 120 200

Eventos. \(D\): acessa de dia; \(N = D^c\): acessa à noite; \(R\): recebe romance; \(A = R^c\): recebe ação.

O que se pede. \(P(D)\), \(P(N)\), \(P(D \cap R)\) e \(P(D \cup R)\).

Resolução.

  1. \(P(D) = 50/200 = 0{,}25\), e pelo complementar \(P(N) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75\).
  2. \(P(D \cap R)\) é a casela “Diurno e Romance”: \(35/200 = 0{,}175\).
  3. \(P(R) = 80/200 = 0{,}40\). Pela regra da união, \(P(D \cup R) = 0{,}25 + 0{,}40 - 0{,}175 = 0{,}475\).

Confira contando direto na tabela: quem é diurno ou romance são \(35 + 15 + 45 = 95\) usuários, e \(95/200 = 0{,}475\).

No código

As contas da Netflix, no estilo da Aula 2:

Agora a mesma ideia com dados reais do Titanic (Aula 4). Uma comparação como dados['Sex'] == 'female' gera uma coluna de True e False, e a média dessa coluna é a proporção de True, ou seja, a probabilidade do evento.

A regra da união bate com a contagem direta:

Os operadores & e | são os mesmos que você usa para filtrar linhas: um filtro com & seleciona a interseção, e um filtro com |, a união.

Armadilhas comuns

  • Somar \(P(A) + P(B)\) para calcular “A ou B” sem tirar a interseção. Só pode somar direto quando os eventos são disjuntos.
  • Confundir “e” com “ou”. “Mulher e sobrevivente” é \(F \cap S\) (0,262); “mulher ou sobrevivente” é \(F \cup S\) (0,475).
  • Achar que disjunto é o mesmo que independente. Feminino e masculino são disjuntos, mas saber que é mulher muda (e muito) a chance de ser homem. Veja Independência.
  • Esquecer o complementar. “Pelo menos um” quase sempre sai mais fácil como \(1 - P(\text{nenhum})\).

Além do frequentista, os slides da Aula 2 citam o método clássico (resultados igualmente prováveis, como um dado honesto: \(P(\text{face } 6) = 1/6\)) e o subjetivo (a crença de um especialista). O Teorema de Bayes é justamente a regra para atualizar uma crença inicial quando chegam dados.

Exercícios aqui na página

Complete os ______ e clique em Run Code: a correção aparece logo abaixo. Use Show Hint para uma dica e Show Solution para ver uma resolução. O Python roda no seu navegador; na primeira vez ele leva alguns segundos para carregar.

Exercício 1

Numa pesquisa, 60% dos clientes de um banco usam o aplicativo, 30% usam o site e 18% usam os dois. Sejam \(A\) = usa o aplicativo e \(S\) = usa o site. Calcule \(P(A \cup S)\) pela regra da união.

\(P(A \cup S) = P(A) + P(S) - P(A \cap S)\).

p_a = 0.60
p_s = 0.30
p_a_e_s = 0.18
p_uniao = p_a + p_s - p_a_e_s
p_uniao

Exercício 2

Agora nos dados do Titanic: qual a proporção de passageiros que eram da 1ª classe ou crianças (idade menor que 12)? Complete o operador que faz a união das duas condições.

& é “e” (interseção) e | é “ou” (união). A média de uma condição é a proporção de True.

primeira = titanic['Pclass'] == 1
crianca = titanic['Age'] < 12
p_primeira_ou_crianca = (primeira | crianca).mean()
p_primeira_ou_crianca

Exercício 3

Os eventos “ser da 1ª classe” e “ser da 3ª classe” podem acontecer para o mesmo passageiro? Responda em texto: 'disjuntos' ou 'nao disjuntos'.

Olhe o número impresso: é a probabilidade da interseção.

p_1a_e_3a = ((titanic['Pclass'] == 1) & (titanic['Pclass'] == 3)).mean()
print(p_1a_e_3a)
resposta = 'disjuntos' if p_1a_e_3a == 0 else 'nao disjuntos'
resposta

Pontes com o outro lado do mapa

Este tópico aparece nestas paradas da revisão guiada, em que cada ponte vira um exercício resolvido pelos dois caminhos:

Pratique

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