Distribuição binomial

Contar quantos sucessos acontecem em n ensaios independentes com a mesma probabilidade de sucesso.
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Na prova · essencial Reconhecer a binomial (n tentativas independentes, mesma p) e calcular probabilidades, média e desvio padrão com stats.binom. Os comandos estão no formulário. Guia da prova

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DicaEm uma frase

Se repetimos \(n\) vezes, de forma independente, um ensaio com probabilidade de sucesso \(p\), o número de sucessos \(Y\) segue uma binomial, \(Y \sim Bin(n;\ p)\).

A ideia

Na Aula 10 passamos de um único ensaio (Bernoulli) para vários. Exemplos dos slides: 50 renovações em 200 assinaturas; 2 de 5 clientes aceitarem uma proposta; 2 de 10 carros autônomos errarem ao estacionar. Em todos, contamos quantos sucessos houve em um número fixo de tentativas.

Antes de usar a binomial, confira as quatro condições do experimento binomial:

  1. são \(n\) repetições idênticas (o número de tentativas é fixo);
  2. cada repetição tem só dois resultados: sucesso ou fracasso;
  3. a probabilidade de sucesso \(p\) é a mesma em todas as repetições;
  4. as repetições são independentes.

Se valem as quatro, a probabilidade de exatamente \(y\) sucessos é

\[ P(Y = y) = \binom{n}{y}\, p^{y}\, (1-p)^{n-y}, \qquad y = 0, 1, \dots, n, \]

e a média e a variância são \(E(Y) = np\) e \(Var(Y) = np(1-p)\).

Exemplo resolvido: de onde vem a fórmula

Um aluno compra um pacote com 3 resistores. Cada um falha com probabilidade 0,2, independente dos outros. Seja \(Y\) o número de resistores com falha. As quatro condições valem: 3 resistores, falha ou não, \(p = 0{,}2\) para todos, independência.

Qual é \(P(Y = 2)\)? Na árvore há 3 sequências com exatamente duas falhas: (F, F, ok), (F, ok, F) e (ok, F, F). Pela independência, cada uma tem probabilidade \(0{,}2 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}032\). Somando as três:

\[ P(Y = 2) = 3 \times 0{,}2^2 \times 0{,}8 = 0{,}096. \]

O “3” é \(\binom{3}{2}\), o número de jeitos de escolher quais 2 dos 3 resistores falham. \(0{,}2^2\) vem das duas falhas e \(0{,}8^1\) do resistor bom. É exatamente a fórmula geral. A distribuição completa é:

\(y\) 0 1 2 3
\(P(Y = y)\) 0,512 0,384 0,096 0,008

No código

Quem calcula tudo isso é scipy.stats.binom. A ordem dos argumentos é sempre (valor, n, p):

Com 3 resistores ainda dá para fazer a árvore. Com um pacote de 100 resistores, não. As três perguntas do exemplo da Aula 10:

  • pmf (probability mass function) dá a probabilidade de um valor: \(P(Y = 20) = 0{,}0993\).
  • cdf (cumulative distribution function) dá a probabilidade acumulada até o valor, incluindo ele: \(P(Y \le 20) = 0{,}5595\).
  • Para “pelo menos 20”, o complemento é “no máximo 19”, por isso 1 - cdf(19): \(0{,}5398\). Todas as traduções estão em usar a cdf.

A média e a variância também vêm prontas e batem com \(np\) e \(np(1-p)\):

Em média, 20 dos 100 resistores falham, com desvio padrão de 4. O gráfico da distribuição mostra que os valores perto de 20 concentram quase toda a probabilidade:

Armadilhas comuns

  • Trocar pmf e cdf. “Exatamente” é pmf; “no máximo” é cdf. Na dúvida, escreva a probabilidade com a notação \(P(Y \dots)\) antes de digitar o código.
  • Errar o complemento. \(P(Y \ge 20) = 1 - P(Y \le 19)\), e não \(1 - P(Y \le 20)\). Com variável discreta, \(P(Y \le 20)\) inclui o 20.
  • Trocar a ordem dos argumentos. stats.binom.pmf(y, n, p): primeiro o valor, depois \(n\), depois \(p\).
  • Usar a probabilidade do evento errado. Se você conta falhas, \(p\) é a probabilidade de falhar. Se o enunciado dá a chance de funcionar (0,8), use \(1 - 0{,}8\) ou conte o outro evento.
  • Aplicar a binomial sem conferir as condições. Sortear sem reposição de um grupo pequeno muda \(p\) a cada sorteio; itens de natureza diferente (os 14 itens do Detran) podem ter probabilidades diferentes. Nesses casos a binomial é, no máximo, uma aproximação.
  • Receber a média em vez de \(p\). Se o enunciado diz que “em média 5,5 de 40 clientes ficam satisfeitos”, use \(E(Y) = np\) para achar \(p = 5{,}5 / 40\).

O inverso da cdf é a ppf: stats.binom.ppf(0.99, n, p) devolve o menor \(y\) tal que \(P(Y \le y) \ge 0{,}99\). Ela aparece no exercício extra da atividade da Aula 13.

Exercícios aqui na página

Complete os ______ e clique em Run Code: a correção aparece logo abaixo. Use Show Hint para uma dica e Show Solution para ver uma resolução. O Python roda no seu navegador; na primeira vez ele leva alguns segundos para carregar.

Exercício 1

Um lote tem 12 chips, e cada um sai defeituoso com probabilidade 0,1, independentemente dos outros. Seja \(Y\) o número de chips defeituosos. Calcule \(P(Y = 2)\).

A ordem dos argumentos é (valor, n, p).

p_y_2 = stats.binom.pmf(2, 12, 0.1)
p_y_2

Exercício 2

Agora com dados: sorteamos 8 passageiros do Titanic com reposição e contamos quantas são mulheres. Estime \(p\) pela proporção de mulheres na base e calcule \(P(Y = 3)\) para \(Y \sim Bin(8;\ p)\).

O \(p\) vem dos dados; o \(n\) vem do experimento.

p = (titanic['Sex'] == 'female').mean()
p_y_3 = stats.binom.pmf(3, 8, p)
p_y_3

Exercício 3

Se a máquina que produz os chips esquenta ao longo do dia e a chance de defeito aumenta, qual condição da binomial deixa de valer? Responda 'p constante' ou 'dois resultados'.

Releia as quatro condições do experimento binomial.

resposta = 'p constante'
resposta

Comandos e documentação oficial

stats.binom.pmf(y, n, p)formuláriostats.binom.cdf(y, n, p)formuláriostats.binom.mean(n, p)formuláriostats.binom.var(n, p)formuláriostats.binom.std(n, p)formulário

formulário o comando está no formulário que você pode consultar na prova.

Pontes com o outro lado do mapa

Este tópico aparece nestas paradas da revisão guiada, em que cada ponte vira um exercício resolvido pelos dois caminhos:

Pratique

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